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我国西南岩溶区是全球三大连片的岩溶发育区之一，占全国岩溶区总面积的32.2%.区域的水资源总量非常丰富，但空间分布不均、岩溶渗漏，开采困难.多年来，西南岩溶区人口快速增加，人地矛盾扩大(王珺瑜等, 2017; Iqbal et al., 2018)，致使大面积森林被破坏，地表植被大量减少，水土流失加剧(黄志强和胡宝清, 2013)，在一定程度上影响了岩溶区的陆地水储量.基于GRACE（Gravity Recovery and Climate Experiment）重力场球谐模型数据，可以反演区域陆地水储量变化(Rodell et al., 2009; Huang et al., 2015; Pan et al., 2017; 周志才等, 2017).不同滤波方法会对结果产生较大影响，周新等(2008)发现非各向同性的高斯滤波器的频谱不仅依赖于阶也依赖于次，能够提高纬度方向的分辨率，在经度方向的分辨率和各向同性滤波器的相当；相龙伟等(2017)利用GRACE RL05数据反演青藏高原及其邻近区域陆地水储量变化趋势，发现高斯滤波的结果幅值与扇形滤波相差10%~30%；刘晓莉(2014)发现在滤波半径为300 km或400 km时，Fan滤波和Han滤波结果差异较小，但同阶时两者对于不同次的权重衰减不同；超能芳等(2015)将改进的高斯滤波与RMS滤波结合，与高斯滤波进行比较，更有效地去除了噪声，提高了反演精度.不同滤波方法反演的陆地水储量变化差异较大，然而，反演西南岩溶区陆地水储量的不同滤波方法之间的对比研究较少.
为了解不同滤波方法对反演西南岩溶区的陆地水储量变化的影响，以便更加准确地描述西南岩溶区陆地水储量变化，本文利用Gauss 200 km、Fan 200 km、Han 200 km和DDK4四种滤波方法，对2003年1月~2015年12月研究区的陆地水储量变化进行反演，并对反演结果进行了误差分析和对比验证，从而分析不同滤波器对反演西南岩溶区陆地水储量变化的空间和时间特征的影响.
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研究区包含四川、云南、重庆、广西、贵州5个省份（图 1），总面积约为137.12×104 km2.其地势西高东低，属于热带亚热带季风气候，湿热多雨(曾斌等，2018)，降雨量季节性差异明显，多年平均降水量为520~1 960 mm，多年平均气温4.3~23.4 ℃，并且两者都是由东南向西北递减(靖娟利和王永锋, 2014).区内有长江、金沙江、南盘江等多条河流经过.西南岩溶区水资源非常丰富，据2017年中国水资源公报（http://www.mwr.gov.cn/sj/tjgb/szygb/）显示，研究区内地下水约占全国地下水资源的26.4%；水资源总量约为8 765.3×108 m3，约占全国水资源总量的30.5%.
图 1 西南岩溶区分布与研究区位置
Figure 1. Southwest karst area distribution and the location of the study area
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本研究采用美国德克萨斯州大学空间研究中心CSR（Center for Space Research）发布的GRACE RL06月尺度重力场模型球谐系数产品，研究时段及距平时段为2003年1月~2015年12月.重力场已扣除非潮汐大气、高频海洋信号、海洋大气潮汐、海潮、固体潮、固体极潮等的影响.替换C20并增加了1阶项，另GRACE RL06版本数据南北条带误差噪声较小，故后处理过程中未做去相关.
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土壤水、径流和蒸发数据采用GLDAS（Global Land Data Assimilation System）提供的CLM模型模拟结果.降水数据来自中国气象数据共享服务网发布的“中国地面降水月值0.5°×0.5°格网数据集”（http://data.cma.cn/）.岩溶区范围数据来源于国家科技基础条件平台——国家地球系统科学数据共享服务平台（http://www.geodata.cn）.
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根据薄层假设，引起重力异常的地球质量变化集中在地球表层（10~15 km以内），主要由大气、海洋、冰盖、陆地水储量等变化引起.通过这一假设，可用地球表面的密度变化来表示大地水准面的变化.对于GRACE数据的处理，球谐系数法的解算相对简单并且发展得比较成熟.球谐系数法是指通过重力场球谐系数反演陆地水储量变化.公式（1）表示使用球谐系数法求陆地水储量变化的基本原理，其中包含了滤波函数.
$$ \begin{array}{*{20}{c}} {\Delta \sigma (\theta, \phi) = \frac{{a{\rho _{{\rm{ave}}}}}}{3}\sum\limits_{l = 0}^\infty {\sum\limits_{m = 0}^l {{{\tilde P}_{lm}}} } (\cos \theta)\frac{{2l + 1}}{{1 + {k_l}}}.}\\ {{W_{lm}}\left({\Delta {C_{lm}}\cos (m\phi) + \Delta {S_{lm}}\cos (m\phi)} \right), } \end{array} $$ 式中，l和m分别表示重力场球谐展开的阶数和次数；θ和$\phi $分别是地心纬度和地心经度；$\Delta \sigma $表示质量异常，可视为陆地水储量变化；α为地球平均半径；ρave为地球平均密度（5 517 kg/m3）；${{{\tilde P}_{lm}}}$为规格化缔合勒让德函数；kl表示负荷勒夫数；Wlm为平滑核函数；${\Delta {C_{lm}}}$和${\Delta {S_{lm}}}$为GRACE位系数距平后的值.
理论上，球谐系数阶数越高，其反映的地球重力场细节程度越高，但由于GRACE球谐系数高阶项误差过大(Swenson and Wahr, 2002)，存在部分噪声，需要经过一系列滤波处理，才能提取到有效的物质迁移信号(Swenson and Wahr, 2007).所以通常会截断至60阶，从而达到分辨率与误差的平衡.截断之后，仍然会存在部分高阶次系数带来的误差.需要采用一定的滤波方法减少高阶次球谐系数的影响，提高信噪比(李圳等, 2017).
在GRACE数据处理过程中，本文选择了较为常用的各向同性滤波器Gauss 200 km和各向异性的滤波器Fan 200 km、Han 200 km（其他参数为r1=400 km, m1=15）和DDK4进行滤波.
Wahr et al. (1998)最早使用Gauss滤波，通过引入高斯平滑核函数来抑制高阶位系数的噪声，该平滑核函数仅对位系数的阶部分起作用.高斯平滑函数可以通过归一化高斯核函数公式获得：
$$ {W_0} = \frac{1}{{{\rm{2 \mathsf{ π} }}}}, \quad {W_1} = \frac{1}{{{\rm{2 \mathsf{ π} }}}}\left[ {\frac{{1 + {{\rm{e}}^{ - 2b}}}}{{1 - {{\rm{e}}^{ - 2b}}}} - \frac{1}{b}} \right], $$ $$ {W_{l + 1}} = - \frac{{2l + 1}}{b}{W_l} + {W_{l - 1}}, $$ 其中，$b = - \frac{{\ln 2}}{{1 - \cos (r/a)}}$, r指平滑半径, a指地球平均半径.
随后Zhang et al.(2009)提出了Fan滤波函数.通过对阶和次进行相同半径的滤波，从而达到更好的滤波效果.Fan滤波在经典高斯滤波的基础上，同时对高阶和高次球谐系数进行降噪.其滤波函数如下：
$$ {W_{lm}} = {W_l}{W_m}, $$ 其中, W指经典高斯滤波核函数.
Han et al.(2005)为了得到更好分辨率的GRACE信号，在进行实测数据和模型验证后提出了一种各向异性滤波核函数，本文称之为Han滤波.其滤波函数如下：
$$ {W_{lm}} = {W_l}\left({{r_{\frac{1}{2}}}(m)} \right), $$ $$ {r_{\frac{1}{2}}}(m) = \frac{{{r_{1 - }}{r_0}}}{{{m_1}}}m + {r_0}, $$ 其中，r0和r1用于得到平均半径，分别对应于m=0和m1（经验值）；当r0=r1时，相当于高斯滤波.对于空间分辨率来说，纬向分辨率与r0有关，经向分辨率与r1和m1有关.
Kusche（2007）和Kusche et al.(2009)认为高斯滤波会引起振幅偏差并且没有考虑到GRACE信号由赤道向两极的密度问题，从最小二乘法估计的方程组出发，通过引入一个简单的正则化因子来进行贝叶斯估计，利用GRACE两颗卫星的轨道误差来设计误差矩阵E和模型设计信号矩阵S，从而提高位系数解算的精度.其公式如下：
$$ W = {\left({{E^{ - 1}} + a{S^{ - 1}}} \right)^{ - 1}}{E^{ - 1}}, $$ 式中，a表示正则化因子.正则化因子出自吉洪诺夫正则化思想，通过选择不同的正则化因子得到不同版本的DDK滤波.其中DDK4的滤波效果最为接近Gauss 200 km滤波(郗慧等, 2016)，故本文选择DDK4与其他3种滤波进行对比.
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由于GRACE球谐系数只截断到60阶，以及数据处理过程中滤波函数的使用，会产生泄露误差(Velicogna and Wahr, 2006; Swenson and Wahr, 2007)，所以为了获得真实的结果通常需要进行泄漏误差校正.
本文采用尺度因子法对泄漏误差进行校正.首先以GLDAS模型数据为先验知识进行球谐展开；然后将得到的球谐系数做GRACE数据相同的处理；得到的结果与先验知识进行最小二乘法线性拟合，得到尺度因子k；最后GRACE反演结果乘以k即可得到真实陆地水储量变化：
$$ \Delta {h_{{\rm{true }}}} = k \cdot \Delta \bar h. $$ -
GRACE观测误差（乘以尺度因子）采用Chen(2008)的方法，将同纬度海洋上残留的信号作为GRACE观测误差的保守估计.将研究区格网平移到太平洋区域，求得GRACE信号残差均方根，然后乘以尺度因子，从而得到研究区的GRACE观测误差的估计.
经过计算，Gauss滤波、Fan滤波、Han滤波和DDK4滤波的GRACE结果乘以尺度因子后，其月观测误差为17.0 mm、16.1 mm、16.1 mm和16.8 mm.CSR官方公布的GRACE Mascon的全球月观测不确定性约为2 cm，所以本次研究误差的不确定性较小，满足要求.
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本文采用降水量实测数据和GLDAS模型模拟径流与蒸发数据，对GRACE数据反演的2003年1月~2015年12月西南研究区的陆地水储量变化（Terrestrial Water Storage Change, TWSC）进行对比验证（图 2）.基于实测的TWSC根据水均衡方程，用实测降水减去GLDAS蒸散发以及径流量得到.
图 2 GRACE反演的陆地水储量变化与实测对比
Figure 2. The comparison between GRACE inversion of terrestrial water storage changes and in situ data
从图 2中可以看出，经过尺度因子校正后的GRACE反演的TWSC与实测值在振幅和频率方面具有一致性.经计算，相关性R2均大于0.5，Gauss滤波、Fan滤波、Han滤波和DDK4滤波的相关性分别为0.52、0.55、0.55和0.50，基本满足研究要求.因此，利用GRACE卫星反演区域陆地水储量变化，并结合水文模型、降雨监测等多种数据可以实现西南岩溶区陆地水储量变化的准确反演.
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利用式（1），使用4种滤波器计算了研究区的等效水高值（图 3）.岩溶区的陆地水储量变化呈现西部明显下降、东部明显上升的趋势，说明不同的滤波对陆地水储量变化的空间分布有很大影响.
图 3 Gauss 200 km、Fan 200 km、Han 200 km、DDK4反演的陆地水储量变化（a~d）及尺度因子校正后的储量变化（e~h）
Figure 3. The change trend of terrestrial water storage inversion of Gauss 200 km, Fan 200 km, Han 200 km, and DDK4 before(a－d)and after(e－h)the scale factor correction
未进行尺度因子校正的陆地水储量变化反映了Fan、Han和DDK滤波结果中南北向的信号变化要大于Gauss滤波（图 3a~3d）.同时由于Fan和Han滤波不仅抑制高阶球谐系数，也抑制高次球谐系数，所以在有效降低噪声、平滑图像的同时，也造成了一些信号的损失；其中Han滤波信号损失最为严重，信号分布较为平均，没有呈现出明显的西部陆地水储量下降、东部上升的格局.而对比图 3d与图 3a~3c可以看出，DDK滤波在进行南北向滤波的同时更能保持原始信号的量级和形状，其保留了更多研究区的质量异常最大值和最小值.这与赵元元等(2013)发现的Fan和DDK滤波对南北向的滤波要大于高斯滤波的结果相吻合.
对比图 3a~3d和图 3e~3h，可以看到很多过滤掉的信号得到了恢复.Gauss 200 km、Fan 200 km、Han 200 km和DDK4滤波4种滤波器用于恢复的尺度因子分别为1.28、1.35、1.59和1.27.从尺度因子的对比中也可以看出DDK4滤波的尺度因子最小，损失的信号量最少，而Han滤波损失的信号量最多，因为其尺度因子较其他3种方法都大.
岩溶区降雨量与陆地水储量距平值（Terrestrial Water Storage Anomaly，TWSA）的关系如图 4，可以看出研究区陆地水储量的变化与区域降水量变化在时间和频率方面保持很强的一致性，表明该区域降水量对陆地水储量变化的影响非常大，同时也在一定程度上说明GRACE反演结果的正确性.笔者对图 4对应的TWSA时间序列进行了时序分析，分析结果见表 1.
图 4 经尺度因子校正的4种滤波反演的TWSA与降水量的时间序列图
Figure 4. Time series diagram of TWSA and precipitation by four kinds of filter inversion corrected by scale factor
滤波函数 年趋势
（mm/a）周年振幅
（mm）半周年振幅
（mm）周年相位 半周年相位 Gauss 200 km 8.64 90.19 26.28 232.25° 153.73° Fan 200 km 8.77 94.47 21.78 231.47° 150.31° Han 200 km 9.05 112.92 16.35 228.61° 139.31° DKK4 9.39 89.34 19.00 232.91° 158.46° 表 1 不同滤波器反演的TWSA时间序列年趋势及其周期信息
Table 1. Annual trend of TWSA time series and its period information for different filter inversion
周年振幅表示TWSA时间序列波动程度.从表 1和图 5可以看出，4种滤波方法对周年振幅的空间分布影响不大，但在年趋势相近的情况下，校正后的陆地水储量距平振幅为Han > Fan > Gauss > DDK，其中Han滤波的振幅最为明显.这是因为Han滤波的GRACE反演结果的尺度因子最大，所以在经过尺度因子校正后，陆地水储量变化信号的恢复比其他3种滤波方法多，表现为TWSA的振幅变化最大，相应地噪声也随之增大.而从表 1和图 6可以看出，Gauss、Fan和DDK滤波的周年相位相差不大，但Han滤波的周年相位偏小，与其他3种滤波有3天左右的相位差，说明Han滤波引起了部分信号相位的变化.
图 5 不同滤波器反演的TWSA时间序列周年振幅空间分布
Figure 5. The annual amplitude spatial distribution of TWSA time series for different filter inversion
图 6 不同滤波器反演的TWSA时间序列周年相位空间分布
Figure 6. The annual phase spatial distribution of TWSA time series for different filter inversion
所以针对西南岩溶区的陆地水储量变化反演，Fan滤波和DDK滤波较好，两者都能同时对高阶、次球谐系数进行抑制.在保持振幅和相位不发生较大变化时，Fan滤波较Han滤波更能有效降低噪声，平滑图像；DDK滤波能够保持原始信号的量级和形状.
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（1）不同滤波器反演的陆地水储量变化的空间分布差异较大.对于研究区的陆地水储量变化反演，Fan滤波和DDK滤波较好.Fan和Han滤波能够有效进行南北向滤波，但会抑制高次噪声，在降低噪声的同时会造成信号的损失，其中Han滤波信号损失非常严重.DDK滤波最大程度保留了研究区陆地水储量变化的振幅，保留了最大值和最小值，在空间上顾及了经向和纬向滤波效果.
（2）不同滤波所得到的陆地水储量月距平值有所差异.经过尺度因子校正后，虽然4种滤波结果的陆地水储量年变化趋势和周年相位相近，但Han滤波表现出了更大的周年振幅.
The Impact of Different GRACE Filtering Methods on Inversing Terrestrial Water Storage Change in Southwestern Karst Area
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摘要: 不同滤波方法反演陆地水储量变化的结果不同，但目前关于西南岩溶区的不同滤波方法之间的对比研究相对较少.利用Gauss 200 km、Fan 200 km、Han 200 km和DDK4四种滤波方法反演了西南岩溶区的陆地水储量变化，并采用尺度因子进行了校正.在空间分布上，Han和Fan滤波较Gauss滤波更为平滑，但损失的真实信号更多，Han滤波损失最为严重；DDK滤波在进行南北向滤波的同时更能保持原始信号的量级和形状.在时间序列上，4种滤波的陆地水储量距平（TWSA）年趋势分别为8.64、8.77、9.05和9.39 mm/a，周年振幅分别为90.19、94.47、112.92和89.34.不同滤波反演的陆地水储量变化的空间分布差异较大；4种滤波的周年相位差别不大，且由于尺度因子的影响，校正后的陆地水储量距平振幅大小顺序为Han > Fan > Gauss > DDK.对于研究区的陆地水储量变化反演，Fan滤波和DDK滤波较好.Abstract: The results of different filtering methods for inversing changes in terrestrial water reserves are different, but there are relatively few comparative studies between different filtering methods for the southwestern karst area. This paper uses four filtering methods, namely Gauss 200 km, Fan 200 km, Han 200 km and DDK4 on the inversion of terrestrial water storage in the southwestern karst area, and uses scale factors to correct. In spatial distribution, Han and Fan filters are smoother than Gauss filters, but the loss of real signals is more, and Han filter loss is the most serious. DDK filtering can maintain the magnitude and shape of the original signal while performing north-south filtering. In the time series, the four filtered Terrestrial Water Storage Anomalies (TWSA) annual trends are 8.64, 8.77, 9.05 and 9.39, respectively. The annual amplitudes are 82.30, 87.47, 107.70 and 78.51. The spatial distribution of terrestrial water reserves inversion by different filters is quite different. The annual phase of the four filters is not much different, and due to the influence of scale factors, the order of corrected anomalous amplitude of terrestrial water storageis:Han > Fan > Gauss > DDK. For the inversion of terrestrial water storage change in the study area, Fan filtering and DDK filtering are better.
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Key words:
- GRACE /
- Gauss filter /
- Fan filter /
- Han filter /
- DDK filter /
- TWSC /
- hydrogeology
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图 1 西南岩溶区分布与研究区位置
Figure 1. Southwest karst area distribution and the location of the study area
图 2 GRACE反演的陆地水储量变化与实测对比
Figure 2. The comparison between GRACE inversion of terrestrial water storage changes and in situ data
图 3 Gauss 200 km、Fan 200 km、Han 200 km、DDK4反演的陆地水储量变化（a~d）及尺度因子校正后的储量变化（e~h）
Figure 3. The change trend of terrestrial water storage inversion of Gauss 200 km, Fan 200 km, Han 200 km, and DDK4 before(a－d)and after(e－h)the scale factor correction
图 4 经尺度因子校正的4种滤波反演的TWSA与降水量的时间序列图
Figure 4. Time series diagram of TWSA and precipitation by four kinds of filter inversion corrected by scale factor
图 5 不同滤波器反演的TWSA时间序列周年振幅空间分布
Figure 5. The annual amplitude spatial distribution of TWSA time series for different filter inversion
图 6 不同滤波器反演的TWSA时间序列周年相位空间分布
Figure 6. The annual phase spatial distribution of TWSA time series for different filter inversion
表 1 不同滤波器反演的TWSA时间序列年趋势及其周期信息
Table 1. Annual trend of TWSA time series and its period information for different filter inversion
滤波函数 年趋势
（mm/a）周年振幅
（mm）半周年振幅
（mm）周年相位 半周年相位 Gauss 200 km 8.64 90.19 26.28 232.25° 153.73° Fan 200 km 8.77 94.47 21.78 231.47° 150.31° Han 200 km 9.05 112.92 16.35 228.61° 139.31° DKK4 9.39 89.34 19.00 232.91° 158.46° 
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